En el libro “Las nueve cifras, el cambiante cero y otros divertimentos matemáticos” de Bernardo Recamán, aparece este primer problema numérico, con el que comienzo esta categoría de Problemas matemáticos. Dice así:

Todos los números enteros se pueden expresar utilizando cierta cantidad de unos, de símbolos + y x, y de una serie de paréntesis. El número 7, por ejemplo, requiere por lo menos 6 unos:

7 = (1 + 1) x (1 + 1 + 1) + 1

El número 80, por su parte, requiere 13 unos:

80 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) x (1 + 1 + 1 + 1) x (1 + 1 + 1 + 1)

El número 467 es el número más pequeño que requiere más de 20 unos para su representación.

¿Puede mostrar cómo representar al número 466 con no más de 20 unos, cualquier cantidad de símbolos + y x, además de los paréntesis necesarios?

Sencillo, utilizando los números primos, y extrayendo los unos que  nos molestan. Veámos cómo:

466 / 2 = 233 (número primo) Para hacerlo divisible entre otro número primo, le resto un uno, con lo que, como mínimo lo hago par, por tanto divisible entre dos.

233 – 1 = 232 (divisible entre dos)

232 / 2 = 116 (divisible entre dos)

116 / 2 = 58 (divisible entre dos)

58 / 2 = 29 (número primo) Otra vez le quitamos uno.

29 – 1 = 28 (divisible entre dos)

28 / 2 = 14 (divisible entre dos)

14 / 2 = 7 (número primo)

7 – 1 = 6 (divisible entre dos)

6 / 2 = 3 (número primo)

Por tanto, el resultado será el siguiente:

(((((((1 + 1 + 1) x (1 + 1)) + 1) x (1 + 1) x (1 + 1)) +1) x (1 + 1) x (1 + 1) x (1 + 1)) + 1) x (1 + 1) = 466 expresado con 20 unos.

((((((3 x 2) + 1) x 2 x 2) + 1) x 2 x 2 x 2) + 1) x 2 = 466.